一、一类非线性方程的新周期解（论文文献综述）
饶继光[1]（2019）在《Davey-StewartsonⅠ方程的精确解》文中进行了进一步梳理本文使用双线性方法和KP系列约化方法研究Davey-StewartsonI（DSI）方程在消失边界下的孤立子解,在非消失边界下的孤立子解,周期解,怪波解,以及由孤立子解,周期解和有理解所组成的半有理解,这些解都是用简单行列式形式表达。第一章为绪论部分,主要介绍了双线性方法和KP系列约化方法的历史背景与发展现状,并且阐明了本论文的主要工作。第二章,主要介绍KP系列约化方法求解DSI方程在消失背景平面下的孤立子解（明孤立子解）。从两分量KP系列的t(au函数出发构造DSI方程的tau函数,得到DSI方程的明孤立子解。研究孤立子解的性质,与Ablowitz和Baldwin在海滩中拍摄到海洋波浪进行类比。第三章,主要介绍单分量的KP系列的tau函数。从其中一种tau函数出发构造DSI在非消失背景平面下的孤立子解（暗孤立子解）,并且分析此类暗孤立子解的性质。第四章,主要介绍从单分量的KP系列的另一种tau函数出发构造DSI方程的两类周期解。第一类周期解包含呼吸子和线状呼吸子。对第一类周期解运用长波极限,可以得到第一类有理解和第一类半有理解。第一类有理解有两种动力学行为:lump和线状怪波。第一类半有理解为呼吸子和lump以及线状怪波组成的半有理解。第二类周期解包括呼吸子,由呼吸子与孤立子解组成的拟周期解,和一类新周期解。这类新周期解其在（x,y）平面上呈现静态反暗孤立子,并且振幅随着时间呈现周期性的变化。对第二类周期解运用长波极限,可以得到由孤立子解,周期解,有理解组成的半有理解,我们称之为第二类半有理解。第五章,利用一种微分算子对单分量KP系列的tau函数作用,得到DSI方程的第二类有理解。与第一类有理解相比,第二类有理解表达形式不一样,有更加复杂高阶有理解。在特定的参数约化关系下,此高阶有理解可以退化为（1+1）维非线性薛定谔方程的高阶怪波解。
李晓明[2]（2018）在《干净数值模拟在混沌动力系统中的应用》文中进行了进一步梳理物理世界是复杂的,事物之间的关系往往是非线性的,如湍流、非线性振动和波浪等问题。混沌是非线性系统的典型行为,并且被认为是20世纪继相对论和量子力学之后第三次伟大的科学革命。所以混沌动力系统的研究在科学和工程中都有着重要的意义和价值。由于混沌动力系统通常不存在解析解,所以数值模拟是其重要的研究手段之一。众所周知,所有数值模拟都存在数值噪音,即截断误差和舍入误差。由于混沌动力系统对初始条件敏感,从而也对数值误差敏感,所以获得足够长时域内混沌动力系统可靠的数值解是一个具有挑战性的问题。本文采用廖世俊教授提出的“干净数值模拟”（Clean Numerical Simulation,简称CNS）策略对混沌动力系统进行高精度数值模拟,研究了数值噪音对混沌动力系统数值结果的影响,揭示了混沌三体系统微观不确定性和宏观随机性之间的联系,并且获得三体系统二千多个全新的周期解。本文研究的主要内容如下:首先,以Hénon-Heiles系统、三体系统以及由Rayleigh-Bénard对流导出的有限维动力系统为例,采用干净数值模拟得到这些混沌动力系统的收敛、可靠的数值结果,并且与基于双精度的传统数值方法所得到的数值结果进行对比研究。对于Hénon-Heiles系统和三体系统,在双精度计算环境下的传统数值方法不能够得到系统长时间可靠的轨道、傅里叶功率谱和自相关函数。对由Rayleigh-Bénard对流所导出的有限维耗散动力系统的数值研究表明数值噪音对混沌的耗散动力系统的非定常统计量有着较大的影响。其次,采用干净数值模拟研究了混沌三体系统微观不确定性的传播。考虑三体系统的初始位置存在微观的物理不确定性,通过10000个样本的干净数值模拟,发现该不确性会随着时间指数级增长到宏观尺度,表现出宏观的随机性。这种微观的不确定性是内在的,不需要任何外力。因此,这表明三体系统宏观的随机性是自激产生的。干净数值模拟结果表明,混沌或许是连接微观不确定性和宏观随机性的桥梁。此外,本文发现了三体问题2000多族全新的周期解。自从牛顿提出三体问题以来,300多年间人们仅发现3族周期解,直到2013年,?uvakov和Dmitra?inovi?[Phys.Rev.Lett.110,114301（2013）]取得重大突破发现了13个全新的等质量三体问题的周期解。本文将网格搜寻方法和Newton-Raphson方法与干净数值模拟相结合,发现了等质量三体问题600多族全新的周期解,不等质量三体问题1200多族全新的周期解以及自由落体三体问题300多族全新的周期解。并且发现这些三体系统的周期解满足广义的开普勒第三定律,即系统总能量的立方和平均周期的平方之乘积近似于一个常数。传统上认为非等级结构的三体系统通常是不稳定的。但是本文新发现的周期解都是非等级结构的,其中28个周期解是线性稳定的。因此,本文从理论上预测了三体系统存在许多稳定的非等级结构的周期解,这对天文观测有着指导意义。
吴青青,朱勇[3]（2018）在《三维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程新的周期孤子解》文中研究说明运用Hirota双线性形式和直接拟设法研究（3+1）-dimensional Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff（CBS）方程,构造了该方程一类新的周期解,并将其解的各种运动特征以图形的形式展现出来.
冯依虎,刘树德,莫嘉琪[4]（2017）在《一类非线性扰动发展方程的渐近解》文中指出研究了一类非线性发展方程.首先作行波变换,讨论了在非扰动情况下的非线性方程,利用双曲函数待定系数方法,求得了相应方程的孤立子精确解.然后利用广义变分迭代方法,求出了原非线性扰动发展方程渐近孤立子行波解.最后通过举例,说明了利用本方法求出的渐近孤立子解简单可行,并有良好的精度.
刘威[5]（2017）在《试探函数法与几种非线性发展方程的多种新解及性质研究》文中认为在应用数学中广泛使用的求解方法,如待定系数法、常数变易法和欧拉待定指数函数法等方法都是具有“试探”性质的求解方法[1],具有此性质的求解方法被称为试探函数法。非线性发展方程求解法中的齐次平衡法[2]、双曲正切函数展开法[3]、Jacobi椭圆函数展开法[4],[5]和辅助方程法[6]～[9]等方法,都是具有构造性和机械化性两大特点的试探函数法[1]。试探函数法在非线性发展方程求解方面已有大量的应用[1],[10]～[26]。本文改进了双曲正切函数展开法,并借助符号计算系统Mathematica,构造了色散长波方程、变形色散水波方程和（2+1）维耗散长波方程的多孤子解。改进了辅助方程法,给出函数变换与辅助方程相结合的方法,构造了（2+1）维势Burgers系统、（2+1）维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov 系统、（3+1）维 Jimbo-Miwa 方程和（3+1）维破碎孤子方程等非线性发展方程的复合型新解。探求高维可积系统的局域激发也是孤立子理论研究中重要而又艰巨的任务之一[27]。已知的激发模式有peakon解、compacton解和隐形孤子及其碰撞特性、孤立子的裂变聚变现象、混沌孤子激发、分形孤子激发模式、折叠孤立波和折叠子等。本文借助符号计算系统Mathematica,对得到的非线性发展方程的复合型新解进行数值模拟,以探求非线性发展方程的局域激发模式及特殊结构。第一章简要介绍了孤子理论的历史和发展。概括非线性发展方程的几种求解方法和本文的主要工作。第二章中基于文献[28],[29]里的双曲正切函数展开法,给出了一种改进的双曲正切函数展开法,借助符号计算系统Mathematica,获得了色散长波方程、变形色散水波方程和（2+1）维耗散长波方程的一般项为三角函数与双曲函数的和乘以指数函数的级数型多孤子新解,并分析了解的性质。第三章中基于文献[30],[31]获得的成果,给出函数变换与辅助方程相结合的方法,获得了几种非线性发展方程的复合型新解,并通过符号计算系统Mathematica对得到的复合型新解进行数值模拟,借此分析了复合型新解的性质。1.给出函数变换与Riccati方程相结合的方法,借助Riccati方程的已知解及其相关结论,得到了（2+1）维势Burgers系统的由有理函数与指数函数、三角函数、双曲函数和反双曲函数组合的无穷序列复合型新解。2.给出函数变换与第二种椭圆方程相结合的方法,运用第二种椭圆方程的已知解及其相关结论,构造了（2+1）维非对Nizhnik-Novikov-Veselov系统的由Riemann θ函数、Jacobi椭圆函数和三角函数分别与双曲函数组合的无穷序列复合型新解,及双孤子解与双周期解。3.基于Painleve分析,给出函数变换与第二种椭圆方程相结合的方法,由此构造了一种（3+1）维非线性发展方程的无穷序列复合型新解。第四章中给出了非线性发展方程精确解的两种求解方法,获得了（3+1）维Jimbo-Miwa方程和（3+1）维破碎孤子方程的复合型新解。通过符号计算系统Mathematica对得到的复合型新解进行数值模拟,并以此来分析复合型新解的性质。1.给出函数变换与第二种椭圆方程相结合的方法,函数变换中含有两个分别以z和t为变量的任意函数。运用此方法得到了（3+1）维Jimbo-Miwa方程的无穷序列复合型新解,新解含有以z和t为变量的任意函数。2.改进文献[32],[33]给出的形式解,构造了（3+1）维破碎孤子方程的由三角函数、指数函数和双曲函数组合的九种复合型新解,并分析了解的性质。第五章中概括了本文的主要工作和未来要进行的科研工作。
常海霞[6]（2017）在《一类高阶非线性波方程的行波解研究》文中研究指明行波解是一种广泛存在于各类非线性方程中的一种相似解,其典型的特征是这类解在空间传播中能够保持平移不变。许多在实验下观察到的物理、化学和生物现象都可以用方程的行波解来描述,而这些方程往往都是非线性方程,比如用来描述我们在日常生活中经常会遇到的各种各样的水波、声波、电磁波等非线性波方程的行波解描述了这些波在媒介中的传播过程。认识和发现这些非线性方程所蕴含的各种波的内在机理成为当今非线性波研究领域中理论研究与数值分析的重要课题。在非线性科学研究中,动力系统理论和方法由于其理论的深刻性与应用的广泛性已成为相关非线性科学领域中非常活跃的前沿方向之一,因此把动力系统理论和方法应用于非线性波方程行波解的研究具有广阔前景。本文首先研究了一类Ito五阶mKdV方程,其对应的行波方程只能约化为含有参数的四阶常微分方程,对于所对应的四阶行波系统,借助计算机符号计算,在某些参数条件下我们得到了这个含参四维系统的由平面动力系统确定的二维不变流形,通过利用平面动力定性分析和分支理论研究确定了这个二维不变流形的二维系统在各类参数条件下的分支和精确解,从而得到了这类高阶非线性波方程的各类光滑的有界行波解,其中包括孤波解、扭波解和不同振幅的周期波解。其次,研究了一类复mKdV方程,利用平移、旋转和尺度对称将方程转化为在一定参数条件下实的参数方程,该方程是一个二阶常微分方程,我们通过利用动力系统定性和分支理论分析了该二阶常微分方程所对应平面系统的相图和分支,得到了该方程在各种参数条件下的有界解,从而得到了该复mKdV方程的各类行波解,其中包含了振幅为周期函数的包络解。
范凯[7]（2014）在《修改的广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程》文中研究指明长波在非线性色散介质表面的传播模型,从20世纪60年代开始,一直受到数学家和物理学家的广泛关注.而它的抽象模型大多用非线性演化方程建立,因此对这些非线性演化方程求解问题的研究就具有重要意义.本文主要运用函数展开解法中的tanh函数法,扩展的tanh函数法,广义Riccati方程有理展开法求解了几个模型方程,通过对比分析指数函数法和广义Riccati方程有理展开法,提出了一种新的函数展开解法,并运用此方法得到了两个具有重要意义的非线性演化方程的精确解.本文主要研究工作如下：1.介绍了tanh函数法,扩展tanh函数法,指数函数法,广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程的主要步骤.2.对IBq方程和BBM-Burgers方程进行了修改,并使用tanh函数法和扩展tanh函数法求解了修改后的IBq方程,结合Exp-function方法求解广义Riccati方程得到的新解,把广义Riccati方程有理展开法应用到了修正后的BBM-Burgers方程,得到了它的一些预先设定形式的精确解.3.通过对含有特定形式非线性项和导数项的一类方程的归纳总结得出,在使用Exp-function方法来求解这类方程时,可以直接使用简化后的Exp-function方法.并对用Exp-function方法得到的KdV方程的部分新解进行详细的推导,通过奇性分析给出了2个新的周期解.4.我们用结合Exp-function方法以及Exp-function方法中平衡UsU（r）)与U（n）归纳运算后的结论修改了广义Riccati方程有理展开法.结合用Exp-function方法求解广义Riccati方程方程得到的新解,用新方法求解了KdV-mKdV非线性演化方程和系数中包含时间变量t的KdV方程.
司军辉,赵汇涛,杨海波[8]（2011）在《非线性弦振动方程的新周期解》文中研究表明利用改进的双曲函数法,借助一个推广形式的Riccati方程组,得到了非线性弦振动方程新周期解,这种方法同样也适用于求解其他非线性偏微分方程.
套格图桑[9]（2011）在《论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进》文中研究表明1834年8月,英国科学家罗素发现了孤立波自然现象.1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯（G.de Vries）在导师柯特维格（D.J.Korteweg）的指导下,研究单方向运动的浅水波时,建立了描述罗素孤立波现象的数学模型KdV方程,从理论上肯定了孤立波解的存在性.1955年,美国物理学家费米（Enrico Fermi）,帕斯塔（John Pasta）和犹拉姆（Stan Ulam）提出的着名的FPU问题,对于发现孤立子提供了第一个实验依据.1965年,美国Princeton大学应用数学家扎布斯基（N.J.Zabusky）和实验室的克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）发现了FPU问题中弦的位移满足KdV方程,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出类此于粒子的性质,并由此提出“孤立子”的概念.孤立子概念的提出证明了孤立波解的稳定性.最近50多年来,人们利用计算机技术,在非线性光学中发现光孤子并应用于通信领域取得了成功.生物学中发现了达维多夫（Davydov）孤立子,海洋学中发现了内孤立波.另外,在凝聚态物理、激光物理、超导物理、经济学、人口问题和医学等诸多科学领域中相继发现了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解等多种孤立子.孤立子理论的研究内容大致分为以下两类.（1）构造系统的求解方法：即构造和发展求解非线性方程的一种系统的方法.这里指的非线性方程包括非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性积分微分方程和非线性差分微分方程.对于许多非线性发展方程,已经有了多种有效的求解方法,但是没有一种通用的方法.（2）解释解的性质：研究解释可积方程的代数和几何的一系列美妙的性质.这里所说的可积方程是能够转化成线性方程的非线性方程.对于研究解的性质方面一般有如下三个情况.第一种情况：当难以获得显示精确解时,分析研究非线性发展方程的适定性问题；第二种情况：利用计算数学的理论知识和计算机,对解进行模拟分析研究；第三种情况：利用试探法和构造变换法等数学技巧,获得非线性发展方程的精确解.虽然以上三种研究方法的角度不同,但是目的都是解释解的变化规律.数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,以及与社会政治、经济和一般的文化的联系.1974年,吴文俊开始研究中国数学史.他在“古证复原”原则下,利用“反辉格”与“中西方数学对比”相结合的综合性方法来研究中国传统数学,揭开了中国数学的构造性和机械化性两个特点.在此基础上与计算机技术相结合发明了着名的“吴消元法”.吴文俊的工作成就是“古为今用”的典范.他提出的“新方法论”对于数学史和数学研究工作来说具有指导性和启发性作用.构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.试探函数法与辅助方程法在构造非线性发展方程精确解领域发挥了非常重要的作用,已经获得了许多新成果.本文从“吴消元法”的发明得到启示,利用“新方法论”对2009年以前的辅助方程法和试探函数法有关的大量文献进行认真比较和仔细分析研究,获得了这两种方法的构造性和机械化性.在第四章中总结了试探函数法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,提出了新的试探函数法,构造了非线性连续（离散）发展方程新的精确解.在第五章中首先通过对Riccati方程法等辅助方程法有关的大量文献进行研究,梳理了辅助方程法的思想基础和来源问题,总结了辅助方程法的四个应用步骤体现了该方法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,初步发挥辅助方程法的两大特点,提出了三角函数型辅助方程法与双曲函数型辅助方程法等新的方法,构造了非线性发展方程的新精确解.（1）把非线性发展方程转化为非线性常微分方程的变换具有构造性.（2）辅助方程与非线性常微分方程的形式解具有构造性.（3）非线性方程组的求解问题具有机械化性.（4）非线性发展方程解的验证具有机械化性.理论上说：《非线性发展方程存在无穷多个解》.但是,辅助方程法有关的诸多博士（硕士）学位论文以及相关的文献只获得了有限多个精确解.本文为了获得非线性发展方程的无穷序列精确解,挖掘辅助方程法的两大特点的含义获得了Riccati方程、第一种椭圆辅助方程、第二种椭圆辅助方程等几种常用辅助方程的自Backlund变换、拟Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了连续（离散）和变系数（常系数）非线性发展方程的多种类型的无穷序列新精确解.（1）单函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数单独构成的无穷序列新精确解.这里包括无穷序列光滑孤立波解、无穷序列尖峰孤立波解和尤穷序列紧孤立子解.本文不仅获得了K（m,n）方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的无穷序列尖峰孤立波解和无穷序列紧孤立子解,而目.其他的非线性发展方程中也获得了此类精确解.（2）复合函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式复合而成的无穷序列精确解.这里包括光滑孤立波解、尖峰孤立波解和紧孤立子解通过几种形式复合而成的无穷序列新精确解.
李俊焕[10]（2010）在《非线性偏微分方程的求解及解法研究》文中进行了进一步梳理本文主要是针对一些具有重要物理背景的非线性偏微分方程,根据现有的孤立子理论和方法,如齐次平衡法、函数变换法、指数函数展开法、双曲正切函数法、修正的Jacobi椭圆函数展开法等,在已有工作的基础上根据数学机械化思想,利用符号计算系统Mathematica,求得了这些方程的大量新孤立波解及其它形式的精确解.第一章绪论介绍了非线性偏微分方程求解的发展状况,包括对非线性偏微分方程概念的引入和在构造偏微分方程精确解方面前人所获得的成果.第二章介绍了孤立子的概况和研究孤立子的现实意义,列举了几种常见的孤立子类型,以三维和平面图形做了对比,归纳了大量被人们广泛研究的不同类型的偏微分方程.第三章给出了行波解的定义,首先求得了Burgers方程和复合KdV方程的Tanh形式解,而后介绍了经典KdV方程的起源并对其进行了详细的行波求解.最后在针对KP方程求解时,运用了辅助Riccati方程求解法.第四章是本论文的重点,给出了拟解定义,详细地介绍了齐次平衡法的步骤,运用该法对KdV-Burgers方程进行了求解;利用新的函数变换对变系数KdV方程进行了求解,并运用Mathematica绘制出了解的图像;利用F-展开法对耦合的KdV方程组进行了求解,得到了包括椭圆函数、三角函数、双曲函数、幂函数形式的各类精确解.第五章主要对本文所做的工作进行了总结,重点是对课题下一步的研究指出了新的方向.目前,在实际应用和理论两方面已对孤立波作了大量研究,运用不同的方法对偏微分方程进行求解逐渐成为了人们研究的重要课题.本文也正是基于此目的,在归纳和总结各种非线性偏微分方程求解的基础上,对部分具有典型物理意义的方程进行了较为系统和深入的研究,得到了许多新的结果,主要结果包括:（1）利用软件Mathematica模拟出了不同类型孤子的图形和很多方程精确解的图形;（2）运用不同的方法对不同的方程进行求解,得到了许多新的精确解,丰富和发展了非线性偏微分方程解法研究的内容.
二、一类非线性方程的新周期解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类非线性方程的新周期解（论文提纲范文）
（1）Davey-StewartsonⅠ方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 双线性方法的简介 |
| 1.2 KP系列约化方法 |
| 1.3 选题和主要工作 |
| 第二章 DSI方程在消失边界下的解 |
| 2.1 两分量KP系列的tau函数 |
| 2.2 消失边界条件下的 |
| 2.2.1 DSI在消失边下的N阶解 |
| 2.2.2 一阶孤立子 |
| 2.2.3 二阶孤立子 |
| 第三章 DSI方程在非消失边界下的解 |
| 3.1 单分量KP系列的tau函数 |
| 3.2 DSI方程在非消失边界下的孤立子解 |
| 3.2.1 一阶孤立子解 |
| 3.2.2 二阶孤立子解 |
| 第四章 DSI方程的周期解,有理解和半有理解 |
| 4.1 DSI方程的tau函数 |
| 4.2 DSI方程的第一类周期解 |
| 4.2.1 共轭条件A |
| 4.2.2 共轭条件B |
| 4.2.3 共轭条件A和共轭条件B参数转换 |
| 4.2.4 第一类周期解的动力学性质 |
| 4.3 第一类有理解和半有理解 |
| 4.3.1 第一类有理解 |
| 4.3.2 第一类半有理解 |
| 4.4 DSI方程的第二类周期解,半有理解 |
| 4.4.1 DSI方程的第二类周期解 |
| 4.4.2 第二类半有理解 |
| 第五章 DSI方程的第二类有理解 |
| 5.1 DSI方程的第二类有理解 |
| 5.2 第二类有理解的动力学行为 |
| 5.3 NLS方程的高阶怪波解 |
| 第六章 结论和展望 |
| 6.1 本文总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（2）干净数值模拟在混沌动力系统中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 混沌动力系统的研究概述 |
| 1.3 三体问题周期解研究概述 |
| 1.4 干净数值模拟简介 |
| 1.5 本论文的研究目的及意义 |
| 1.6 本论文的主要工作 |
| 第二章 干净数值模拟 |
| 2.1 干净数值模拟的提出 |
| 2.2 干净数值模拟的策略 |
| 2.2.1 高阶泰勒级数方法 |
| 2.2.2 GMP和MPFR高精度库 |
| 2.2.3 数值策略 |
| 2.3 本文研究的数学模型的高阶泰勒级数方法 |
| 2.3.1 Hénon-Heiles系统的高阶泰勒级数方法 |
| 2.3.2 三体问题的高阶泰勒级数方法 |
| 2.3.3 三体系统的变分方程的高阶泰勒级数方法 |
| 2.3.4 Saltzman方程的高阶泰勒级数方法 |
| 2.4 小结 |
| 第三章 数值噪音对混沌动力系统数值结果的影响 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值噪音对哈密顿系统数值模拟的影响 |
| 3.2.1 辛方法 |
| 3.2.2 Hénon-Heiles系统 |
| 3.2.3 三体系统 |
| 3.3 数值噪音对混沌动力系统统计量计算的影响 |
| 3.3.1 数学模型 |
| 3.3.2 数值结果 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 混沌三体系统自激的宏观随机性研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数学模型 |
| 4.3 数值结果 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 三体问题的周期解研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 三体问题的运动方程 |
| 5.3 周期解搜寻方法 |
| 5.3.1 网格搜寻方法 |
| 5.3.2 Newton-Raphson方法 |
| 5.3.3 线性方程组的高精度求解 |
| 5.4 拓扑分类方法 |
| 5.5 周期解 |
| 5.5.1 等质量三体问题周期解 |
| 5.5.2 不等质量三体问题周期解 |
| 5.5.3 自由落体三体问题周期解 |
| 5.6 三体问题的广义开普勒第三定律 |
| 5.7 周期解的稳定性 |
| 5.7.1 ?uvakov和Dmitra?inovi? 所发现的周期解的稳定性 |
| 5.7.2 周期解的线性稳定性 |
| 5.8 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 主要创新点 |
| 6.3 展望 |
| 附录A 等质量三体问题周期解的初始条件和周期 |
| 附录B 两个天体质量相等的三体问题周期解的初始条件和周期 |
| 附录C 不等质量三体问题周期解的初始条件和周期 |
| 附录D 自由落体三体问题周期解的初始条件和周期 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
（4）一类非线性扰动发展方程的渐近解（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 扰动发展方程 |
| 2 扰动方程渐近解 |
| 3 举例 |
| 4 结论 |
（5）试探函数法与几种非线性发展方程的多种新解及性质研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的产生与发展 |
| 1.2 回顾非线性发展方程的几种求解方法 |
| 1.2.1 齐次平衡法 |
| 1.2.2 双曲正切函数展开法 |
| 1.2.3 多线性变量分离法 |
| 1.2.4 概述辅助方程法 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 双曲正切函数展开法的改进及其应用 |
| 2.1 色散长波方程的多孤子新解 |
| 2.1.1 色散长波方程与齐次平衡法 |
| 2.1.2 色散长波方程的多孤子新解 |
| 2.1.3 色散长波方程解的性质研究 |
| 2.2 变形色散水波方程的多孤子新解 |
| 2.2.1 变形色散水波方程的多孤子新解 |
| 2.2.2 变形色散水波方程解的性质研究 |
| 2.3 (2+1)维耗散长波方程的多孤子新解及其局域激发 |
| 2.3.1 化简(2+1)维耗散长波方程 |
| 2.3.2 (2+1)维耗散长波方程的多孤子新解 |
| 2.3.3 (2+1)维耗散长波方程的局域激发与分形结构 |
| 第三章 函数变换及其应用 |
| 3.1 (2+1)维势Burgers系统的复合型新解 |
| 3.1.1 函数变换与(2+1)维势Burgers系统 |
| 3.1.2 Riccati方程的相关结论 |
| 3.1.3 (2+1)维势Burgers系统的复合型新解 |
| 3.2 (2+1)维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov系统的复合型新解 |
| 3.2.1 函数变换与(2+1)维ANNV系统 |
| 3.2.2 第二种椭圆方程的相关结论 |
| 3.2.3 (2+1)维ANNV系统的复合型新解 |
| 3.3 种(3+1)维非线性发展方程的复合型新解 |
| 3.3.1 函数变换与(3+1)维非线性发展方程 |
| 3.3.2 (3+1)维非线性发展方程的复合型新解 |
| 第四章 两种(3+1)维非线性发展方程的多孤子解 |
| 4.1 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的复合型新解 |
| 4.1.1 函数变换与(3+1)维Jimbo-Miwa方程 |
| 4.1.2 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的复合型新解 |
| 4.2 (3+1)维破碎孤子方程的复合型解 |
| 4.2.1 形式解与(3+1)维破孤子方程的新解 |
| 4.2.2 (3+1)维破碎孤子方程复合型解的性质 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间的科研成果 |
| 致谢 |
（6）一类高阶非线性波方程的行波解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 相关概念和定理 |
| 2.2 本文研究思路 |
| 第3章 Ito五阶mKdV方程的行波解 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 Ito五阶mKdV方程的子方程 |
| 3.3 α= ?1时的方程的行波解 |
| 3.4 α= 1时的方程的行波解 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 复mKdV类型非线性波方程的行波解 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 复mKdV方程的行波解 |
| 4.3 小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 |
（7）修改的广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文研究的方法和几个方程简介 |
| 1.3 本文的研究意义与主要工作 |
| 第2章 Tanh和扩展tanh函数法求解修改的IBq方程 |
| 2.1 本章内容综述 |
| 2.2 Tanh函数法及其应用 |
| 2.2.1 Tanh函数展开法 |
| 2.2.2 Tanh函数法求解修改的IBq方程 |
| 2.3 扩展的tanh函数法及其应用 |
| 2.3.1 扩展的tanh函数展开法 |
| 2.3.2 扩展的tanh函数法求解修改的IBq方程 |
| 第3章 广义Riccati方程有理展开法与指数函数法 |
| 3.1 本章内容综述 |
| 3.2 广义Riccati方程有理展开法的主要思路与演化方程的求解 |
| 3.2.1 广义Riccati方程有理展开法的主要思路 |
| 3.2.2 广义Riccati方程的新解 |
| 3.2.3 广义Riccati方程有理展开法求解修正的BBM-Burgers方程 |
| 3.3 Exp-function方法 |
| 3.3.1 Exp-function方法的一般过程 |
| 3.3.2 Exp-function方法中非线性项与最高阶导数项归纳运算 |
| 3.3.3 用修改的Exp-function方法得到KdV方程新解的推导 |
| 第4章 修改的广义Riccati方程有理展开法及其应用 |
| 4.1 本章内容综述 |
| 4.2 修改的广义Riccati方程有理展开法与常系数演化方程求解 |
| 4.2.1 修改的广义Riccati方程有理展开法 |
| 4.2.2 修改的广义Riccati方程有理展开法求解KdV-mKdV方程 |
| 4.3 修改的广义Riccati方程有理展开法求解变系数KdV方程 |
| 第5章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究数学史的新方法论 |
| §1.2 吴方法和吴消元法的发明 |
| §1.3 吴消元法与非线性发展方程的求解方法 |
| §1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 概述吴消元法的发明历史 |
| §2.1 曲折的数学之路(1919年—1945年) |
| §2.2 吴文俊与拓扑学(1945年—1958年) |
| §2.3 研究"对策论"的中国第一人(1958年—1974年) |
| §2.4 吴文俊与研究数学史的新方法论(1974年—) |
| §2.5 简单回顾发明计算机的历史 |
| §2.6 简单回顾西方数学机械化思想的发展历史 |
| §2.7 吴文俊与数学机械化纲领(1976年—) |
| 第三章 简述建立孤子方程求解方法历史与孤立子理论的研究意义 |
| §3.1 简单回顾孤立子理论建立历史上的几件大事 |
| §3.2 概述非线性发展方程求解方法发展历史(1967年—现在) |
| §3.3 孤立子理论的研究意义 |
| 第四章 试探函数法的两大特点与非线性差分微分方程的新精确解 |
| §4.1 试探函数法的两大特点 |
| §4.2 试探函数法的扩展应用 |
| 第五章 辅助方程法的发展历史研究 |
| §5.1 "辅助方程法"思想 |
| §5.2 Riccati方程法与非线性发展方程的精确解 |
| §5.3 辅助方程法的思想基础与来源 |
| §5.4 辅助方程法两大特点与非线性发展方程的新精确解 |
| 第六章 辅助方程法的两大特点与非线性发展方程的无穷序列新精确解 |
| §6.1 辅助方程法两大特点的进一步研究 |
| §6.2 Riccati方程法的新应用 |
| §6.3 第二种椭圆辅助方程法的新应用 |
| §6.1 第二种椭圆辅助方程与Riccati方程相结合的方法与应用 |
| §6.5 三角函数型轴助方程法与双曲函数型辅助方程法的新应用 |
| §6.6 几种辅助方程的Backlund变换及其应用 |
| §6.7 第一种椭圆辅助方程与非线性发展方程的新类型无穷序列精确解 |
| §6.8 辅助方程法的发展阶段 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
（10）非线性偏微分方程的求解及解法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性偏微分方程求解的发展概况 |
| 1.2 本课题的研究意义和目的 |
| 第2章 孤立子概述和非线性偏微分方程总结 |
| 2.1 孤立子理论概况和研究意义 |
| 2.2 孤立子类型与其常用非线性偏微分方程 |
| 2.2.1 孤立子的类型与图形模拟 |
| 2.2.2 非线性偏微分方程的常见类型 |
| 第3章 行波解 |
| 3.1 复合KdV 方程和Burgers 方程的行波解 |
| 3.1.1 复合KdV 方程的Tanh 形式解 |
| 3.1.2 Burgers 方程的 Tanh 形式解 |
| 3.2 KdV 方程和KP 方程的行波解 |
| 3.2.1 指数函数法求解KdV 方程 |
| 3.2.2 Riccati 辅助方程求解(2+1)维KP 方程 |
| 第4章 一些非线性偏微分方程的求解及解法 |
| 4.1 齐次平衡法及其应用 |
| 4.2 变系数广义 KdV 方程的精确类孤子解 |
| 4.3 Jacobi 椭圆函数法求 Gardner 方程的新周期解 |
| 4.4 F-展开法在耦合KdV 方程组中的应用 |
| 第5章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文及科研工作 |
| 1.攻读硕士学位期间的科研工作 |
| 2.攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
四、一类非线性方程的新周期解（论文参考文献）
- [1]Davey-StewartsonⅠ方程的精确解[D]. 饶继光. 中国科学技术大学, 2019(08)
- [2]干净数值模拟在混沌动力系统中的应用[D]. 李晓明. 上海交通大学, 2018(01)
- [3]三维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程新的周期孤子解[J]. 吴青青,朱勇. 玉溪师范学院学报, 2018(08)
- [4]一类非线性扰动发展方程的渐近解[J]. 冯依虎,刘树德,莫嘉琪. 中国科学技术大学学报, 2017(09)
- [5]试探函数法与几种非线性发展方程的多种新解及性质研究[D]. 刘威. 内蒙古师范大学, 2017(02)
- [6]一类高阶非线性波方程的行波解研究[D]. 常海霞. 浙江理工大学, 2017(07)
- [7]修改的广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程[D]. 范凯. 东北大学, 2014(08)
- [8]非线性弦振动方程的新周期解[J]. 司军辉,赵汇涛,杨海波. 周口师范学院学报, 2011(02)
- [9]论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D]. 套格图桑. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [10]非线性偏微分方程的求解及解法研究[D]. 李俊焕. 青岛理工大学, 2010(05)